ПРОЕКТ ЦЕНТРА ОБРАЗОВАНИЯ
"КОАЛИЦИЯ" И АССОЦИАЦИИ ПОБЕДИТЕЛЕЙ ОЛИМПИАД
ПОДГОТОВКА К ОЛИМПИАДАМ И ЕГЭ
20 марта 2019

ЕГЭ по математике: 2 способа решения задач с параметром

Объясняет Дмитрий Анфимов, МГТУ им. Н. Э. Баумана

Привет, дорогие друзья!

Пришла пора разобрать задачки с параметром.

Задача будет не самой сложной, но именно в ней мы хотим продемонстрировать возможность решения 2-мя различными способами:

- графическим
- аналитическим

Вы наверняка замечали, что прекрасным оружием против даже самой неприступной задачи, является рисунок. Он дает вам наглядную картину происходящего, и вы можете интуитивно набрести на правильный вектор.

Итак, приступим к задаче. У нас система уравнений следующего вида:
Необходимо найти: a, при которых система имеет ровно 2 различных решения

Графическое решение:

В текстовом виде нам задан рисунок. Создатели ЕГЭ, словно программисты, написали нам программу на языке математики, а мы, как компьютеры, отрисуем им данную задачу. Компьютер выполняет программы пошагово. Попробуем так же, как он?)

Сперва переведем эту систему в удобоваримый для нас вид и вынесем из первых двух слагаемых xy, а из двух последних -4 :
Откуда:
А теперь рисуем! Из первого уравнения мы видим, что x + 4 > 0. Значит x > - 4. Нарисуем эту линию на нашем графике:
То есть все, что находится левее синей линии, никакого для нас значения не имеет, ибо мы отсекли эту область. Она нам неинтересна.
Идем дальше. У нас есть еще 2 выражения: y – 2 = 0 и/или xy – 4 = 0. Это условие выполнения первого равенства. Данные выражения задают нам горизонтальную прямую y = 2 и гиперболу y = 4/х. Отрисуем их и обозначим одним цветом.
Вот они. Итак, наша задача найти, где прямая y = ax (надеюсь, вы не сомневаетесь в том, что это именно прямая) пересекается с нашими графиками, отмеченными красной линией. Все вы прекрасно знаете, что в данном уравнении a - это тангенс угла наклона нашей прямой, и она проходит через начало координат. Нарисуем ее с произвольным небольшим коэффициентом:
Слева наша зеленая прямая не пересекает ничего, а справа ровно по одному разу пересекает прямую и гиперболу! Значит она нам подходит! Ура!

Теперь найдем, при каком угле наклона (a) (наша прямая начнет пересекать левую нижнюю ветвь гиперболы. Координата x = - 4, a y = -1. Следовательно, a = -1/-4 = ¼. Видно, что если тангенс угла больше 1/4, то количество пересечений у нас будет равно трем, а если меньше 0, то пересечение возможно только одно, а это нас не интересует.

Но не везде при а > ¼ . В точке пересечения гиперболы и прямой y = 2 точек будет снова две. Найдем, чему будет равно а в этой точке: координата y = 2, координата x = 2. Следовательно, a = 1.
Вот мы и пришли к ответу!

Ответ: 0 < a ≤ ¼ и а = 1

Графический способ весьма трудоемок, но он позволяет вычислять лишь необходимые для решения точки, а это совсем несложно. Теперь противопоставим ему более короткий, но в то же время немного более сложный способ.

Аналитическое решение:

И вот мы снова встретились:
Но теперь мы победим ее «без карандаша». Разложим систему на простые части:
Отсюда:
Получим x для самого первого выражения. Он будет равен x1 = 2/a, причем ввиду условия x > - 4 a будет лежать в четко заданном промежутке
(∞, ½) U (0, ∞). При a = 0 наша система не имеет решений.

Второе выражение системы даст нам два решения: x2 = 4/ a и x3 = - 4/ a. Первый корень существует только при a > 0. А второй при a > ¼ . Ввиду условия x > - 4. Отсюда мы получаем решение нашей задачи, объединив все промежутки (0 < a ≤ ¼) .
Но мы забыли один важный момент: х1 может быть равен x2 , и это происходит при a = 1. В этом случае система имеет так же 2 корня.

Ответ: (0 < a ≤ ¼) и а = 1
Как видите, ребята, решить задачу можно двумя, а зачастую и еще большим количеством способов. Плюс графического метода в том, что он весьма трудоемок, но в то же время прост в понимании. Аналитический сложнее в понимании, но быстрее.

В любом случае лучше знать оба и иметь возможность себя проверить!)

Желаем удачи на экзаменах!
Олимпиады – это тот случай, когда важны и участие, и победа. Начиная с регионального этапа, уровень сложности заданий становится достаточно высоким, поскольку согласно положению Минобрнауки, квота победителей и призеров на нем составляет не более 25% от общего числа участников. Это значит, что право участвовать в финале получат лучшие из лучших. Чтобы попасть в их число, подготовка с преподавателем понадобится в любом случае – будь то репетитор или курсы.

Занятия с репетитором – недешевое удовольствие. У них есть несомненный плюс в том, что они позволяют обеспечить максимум внимания ученику. Тем не менее, оно не всегда оправдывает материальные средства. Стоимость академического часа у многих хороших преподавателей зачастую достигает 3000-5000 рублей, заниматься с плохими – просто не имеет смысла. А если предмет не один, да еще и к нему добавляется подготовка к ЕГЭ, то можно вовсе разориться. К тому же, не все олимпиадные тренеры и опытные вузовские преподаватели, готовящие к олимпиадам, соглашаются на индивидуальные уроки ввиду своей загруженности. Поэтому занятия в группе дают возможность не только заниматься с действительно знающими свое дело педагогами, но и сэкономить на этом до 50%.

Запишитесь на пробное бесплатное занятие по подготовке к олимпиаде и убедитесь во всем сами!
Олимпиады – это тот случай, когда важны и участие, и победа. Начиная с регионального этапа, уровень сложности заданий становится достаточно высоким, поскольку согласно положению Минобрнауки, квота победителей и призеров на нем составляет не более 25% от общего числа участников. Это значит, что право участвовать в финале получат лучшие из лучших. Чтобы попасть в их число, подготовка с преподавателем понадобится в любом случае – будь то репетитор или курсы.

Занятия с репетитором – недешевое удовольствие. У них есть несомненный плюс в том, что они позволяют обеспечить максимум внимания ученику. Тем не менее, оно не всегда оправдывает материальные средства. Стоимость академического часа у многих хороших преподавателей зачастую достигает 3000-5000 рублей, заниматься с плохими – просто не имеет смысла. А если предмет не один, да еще и к нему добавляется подготовка к ЕГЭ, то можно вовсе разориться. К тому же, не все олимпиадные тренеры и опытные вузовские преподаватели, готовящие к олимпиадам, соглашаются на индивидуальные уроки ввиду своей загруженности. Поэтому занятия в группе дают возможность не только заниматься с действительно знающими свое дело педагогами, но и сэкономить на этом до 50%.

Запишитесь на пробное бесплатное занятие по подготовке к олимпиаде и убедитесь во всем сами!
Олимпиады – это тот случай, когда важны и участие, и победа. Начиная с регионального этапа, уровень сложности заданий становится достаточно высоким, поскольку согласно положению Минобрнауки, квота победителей и призеров на нем составляет не более 25% от общего числа участников. Это значит, что право участвовать в финале получат лучшие из лучших. Чтобы попасть в их число, подготовка с преподавателем понадобится в любом случае – будь то репетитор или курсы.

Занятия с репетитором – недешевое удовольствие. У них есть несомненный плюс в том, что они позволяют обеспечить максимум внимания ученику. Тем не менее, оно не всегда оправдывает материальные средства. Стоимость академического часа у многих хороших преподавателей зачастую достигает 3000-5000 рублей, заниматься с плохими – просто не имеет смысла. А если предмет не один, да еще и к нему добавляется подготовка к ЕГЭ, то можно вовсе разориться. К тому же, не все олимпиадные тренеры и опытные вузовские преподаватели, готовящие к олимпиадам, соглашаются на индивидуальные уроки ввиду своей загруженности. Поэтому занятия в группе дают возможность не только заниматься с действительно знающими свое дело педагогами, но и сэкономить на этом до 50%.

Запишитесь на пробное бесплатное занятие по подготовке к олимпиаде и убедитесь во всем сами!
Олимпиады – это тот случай, когда важны и участие, и победа. Начиная с регионального этапа, уровень сложности заданий становится достаточно высоким, поскольку согласно положению Минобрнауки, квота победителей и призеров на нем составляет не более 25% от общего числа участников. Это значит, что право участвовать в финале получат лучшие из лучших. Чтобы попасть в их число, подготовка с преподавателем понадобится в любом случае – будь то репетитор или курсы.

Занятия с репетитором – недешевое удовольствие. У них есть несомненный плюс в том, что они позволяют обеспечить максимум внимания ученику. Тем не менее, оно не всегда оправдывает материальные средства. Стоимость академического часа у многих хороших преподавателей зачастую достигает 3000-5000 рублей, заниматься с плохими – просто не имеет смысла. А если предмет не один, да еще и к нему добавляется подготовка к ЕГЭ, то можно вовсе разориться. К тому же, не все олимпиадные тренеры и опытные вузовские преподаватели, готовящие к олимпиадам, соглашаются на индивидуальные уроки ввиду своей загруженности. Поэтому занятия в группе дают возможность не только заниматься с действительно знающими свое дело педагогами, но и сэкономить на этом до 50%.

Запишитесь на пробное бесплатное занятие по подготовке к олимпиаде и убедитесь во всем сами!
Олимпиады – это тот случай, когда важны и участие, и победа. Начиная с регионального этапа, уровень сложности заданий становится достаточно высоким, поскольку согласно положению Минобрнауки, квота победителей и призеров на нем составляет не более 25% от общего числа участников. Это значит, что право участвовать в финале получат лучшие из лучших. Чтобы попасть в их число, подготовка с преподавателем понадобится в любом случае – будь то репетитор или курсы.

Занятия с репетитором – недешевое удовольствие. У них есть несомненный плюс в том, что они позволяют обеспечить максимум внимания ученику. Тем не менее, оно не всегда оправдывает материальные средства. Стоимость академического часа у многих хороших преподавателей зачастую достигает 3000-5000 рублей, заниматься с плохими – просто не имеет смысла. А если предмет не один, да еще и к нему добавляется подготовка к ЕГЭ, то можно вовсе разориться. К тому же, не все олимпиадные тренеры и опытные вузовские преподаватели, готовящие к олимпиадам, соглашаются на индивидуальные уроки ввиду своей загруженности. Поэтому занятия в группе дают возможность не только заниматься с действительно знающими свое дело педагогами, но и сэкономить на этом до 50%.

Запишитесь на пробное бесплатное занятие по подготовке к олимпиаде и убедитесь во всем сами!
Вам может понравиться
Оставь свой e-mail и мы будем присылать топовые материалы каждый понедельник.
Подпишись на знания
Все об олимпиадах, ГИА и профориентации : полезная информация каждый день.
ПРОЕКТ ЦЕНТРА ОБРАЗОВАНИЯ
"КОАЛИЦИЯ" И АССОЦИАЦИИ ПОБЕДИТЕЛЕЙ ОЛИМПИАД
ПОДГОТОВКА К ОЛИМПИАДАМ И ЕГЭ
Made on
Tilda