ПРОЕКТ ЦЕНТРА ОБРАЗОВАНИЯ
"КОАЛИЦИЯ" И АССОЦИАЦИИ ПОБЕДИТЕЛЕЙ ОЛИМПИАД
ПОДГОТОВКА К ОЛИМПИАДАМ И ЕГЭ
20 марта 2019

Кинематика для олимпиад и ЕГЭ

Объясняет Исаак Калинкин, математический факультет НИУ ВШЭ.

Кинематика — раздел механики, описывающий движения идеализированных тел (материальная точка, абсолютно твердое тело) без рассмотрения причин движения. Этот раздел можно разбить на несколько:

- равномерное прямолинейное движение;

- равноускоренное движение;

- равномерное движение по окружности.

Но прежде чем рассмотреть каждый из них отдельно, вспомним о системах отсчета.

Относительность движения

Любое движение мы всегда описываем относительно системы отсчета — системы координат и «часов». Но также очень важно уметь переходить из одной системы координат в другую. Допустим, имеются две системы отсчета, одна из которых связана с телом O. Обозначим эту систему А .

Вторая система А' связана с телом O' , которое движется относительно тела со скоростью u. Тогда, если в системе А' какое-то тело движется со скоростью v', то в системе А оно будет двигаться со скоростью:
Это уравнение называется законом сложения скоростей.
Пример: если поезд двигается со скоростью u, и в нем летит против направления движения поезда муха со скоростью v' относительно поезда, то относительно Земли скорость мухи будет равна:
В данном случае система А связана с землей, А' — с поездом.

Равномерное прямолинейное движение

По определению, равномерное прямолинейное движение — это движение с постоянной скоростью. Причем здесь имеется в виду векторная скорость. Другими словами, во время такого движения не меняется ни модуль вектора скорости, ни его направление. Траекторией тела при таком движении будет прямая или ее участок.

Уравнение равномерного прямолинейного движения имеет вид:
где r(t) — радиус-вектор тела (здесь тело — материальная точка) от времени t, r0 начальный радиус-вектор, v — вектор скорости. Радиус-вектор точки — это просто вектор, указывающий на положение точки. Такой вектор имеет начало в нуле, а конец в данной точке.

Если работать с векторами тяжело, то всегда можно рассмотреть уравнение в проекции на какую-нибудь ось. Например, вот то же самое уравнение, записанное в проекции на ось Ox :
Здесь Хо — начальная координата тела на оси Ох, Vx— проекция скорости на ту же ось.

Равноускоренное движение

Аналогично предыдущему случаю, равноускоренное движение — движение с постоянным ускорением. И снова подразумевается вектор ускорения. Тут возникает два уравнения: одно на скорость, второе - на радиус вектора:
где V0 — вектор начальной скорости, а — вектор ускорения. Эти равенства также называют треугольниками скоростей и перемещений, потому что эти суммы можно нарисовать как суммы векторов на плоскости, которые по правилам сложения векторов как раз и будут треугольниками.

Равномерное движение по окружности

Как легко догадаться из названия, равномерное движение по окружности — это движение по окружности с постоянным модулем скорости. Именно модулем, потому что при таком движении постоянно меняется направление вектора скорости тела. Модуль этой скорости обычно называют линейной скоростью, время одного оборота — периодом. Если линейная скорость равна v, а радиус окружности — r , то период T можно выразить так:
Частота обращения — величина, обратная периоду. Она показывает, сколько оборотов сделало тело за одну секунду.

Еще одна величина, характеризующая движение по окружности — угловая скорость ω — отношение угла поворота ко времени. Ее можно посчитать через период так:
Связь угловой и линейной скоростей: v = ωr

Так как скорость тела постоянно меняется (а именно, ее направление), то движение происходит с ускорением, которое называют центростремительным. Оно направлено ровно к центру окружности, по которой двигается тело, и может быть посчитано так:

Примеры задач

Напоследок разберем пару задач.
Задача 1
Два корабля двигаются таким образом, что их скорости перпендикулярны, и по модулю равны 4 м/с и 3 м/c соответственно. Найдите модуль скорости одного корабля относительно другого.
Решение:
Воспользуемся законом сложения скоростей: за А возьмем стандартную систему отсчета, а за А'— связанную с первым кораблем. Тогда, если u и v — скорости кораблей, то скорость системы отсчета A' относительно A равна u . Пусть скорость второго корабля в системе отсчета A' равна v'. По правилу сложения скоростей:
В итоге модуль скорости второго корабля v' в системе отсчета первого равен:
что можно посчитать, используя теорему Пифагора (скорости u, v перпендикулярны). Но эта скорость в точности и есть скорость второго корабля относительно первого. Таким образом, задача решена.
Задача 2
Винни Пух стоял на крыше. Пятачок, который был снизу, ни с того, ни с сего выстрелил в него из рогатки. Однако камень, описав дугу, упал у ног медвежонка через время t = 1с. Поросенок умудрился выстрелить камнем таким образом, что скорость вначале была перпендикулярна скорости в конце полета. На каком расстоянии s от Пятачка находился Винни Пух?
Решение:
Обозначим вектор начальной скорости за , конечной - за . Тогда по формуле скорости при равноускоренном движении:
Так как векторы и перпендикулярны, то вместе с вектором gt они образуют прямоугольный треугольник с гипотенузой длины gt.

Рассмотрим перемещение камня от начала до конца движения:
Разделим обе части на t :
Легко увидеть, что правая часть является медианой в нашем треугольнике, образованном начальной и конечной скоростями и . Но медиана в прямоугольном треугольнике равна половине гипотенузы, следовательно:
Итак, умножив обе части на t , получим:
Вам может понравиться
Оставь свой e-mail и мы будем присылать топовые материалы каждый понедельник.
Подпишись на знания
Все об олимпиадах, ГИА и профориентации : полезная информация каждый день.
ПРОЕКТ ЦЕНТРА ОБРАЗОВАНИЯ
"КОАЛИЦИЯ" И АССОЦИАЦИИ ПОБЕДИТЕЛЕЙ ОЛИМПИАД
ПОДГОТОВКА К ОЛИМПИАДАМ И ЕГЭ
Made on
Tilda