ПРОЕКТ ЦЕНТРА ОБРАЗОВАНИЯ
"КОАЛИЦИЯ" И АССОЦИАЦИИ ПОБЕДИТЕЛЕЙ ОЛИМПИАД
ПОДГОТОВКА К ОЛИМПИАДАМ И ЕГЭ
6 февраля 2019

ЕГЭ по математике: разбор решения уравнений с параметром (профильный уровень)

Объясняет Дмитрий Анфимов, МГТУ им. Баумана

Задание: найти все значения параметра , при каждом из которых уравнение
имеет хотя бы одно решение на интервале
Решение:

Посмотрев на данную задачу и преодолев 5 стадий принятия неизбежного, приведем заданное уравнение к чему-то более «красивому», чем оно есть на самом деле:
Выглядит менее удручающе, не правда ли?)

Теперь подумаем, на уравнение какой линии похоже данное уравнение? По началу абсолютно неочевидно, но если сделать пару небольших преобразований, то мы можем разглядеть тут обычную прямую.

Сделаем замену переменных


Уравнение прямой:

Поделив на 2, мы получим следующий результат:
Прямая же? Прямая.
Поглядим на «страшное» первоначальное уравнение. Так как знаменатель не должен быть равен нулю, сделаем вывод, что sin t ≠ cos t. Т.е. y≠x.

Вырисовывается следующая система:
Вроде было еще какое-то условие… Точно! Переменная t лежит в пределах от 0 до
Вспомним уравнение единичной окружности, а так же основное тригонометрическое тождество:
Эти уравнения (внезапно!) одинаковы, учитывая нашу замену переменных, а условие
шепчет, что нас интересует только первая четверть нашей координатной плоскости.

Дополним систему. Теперь она выглядит так:
Все расписали, а теперь можно и порисовать! Нарисуем всё, что мы узнали о нашем уравнении и попробуем сделать какие-нибудь выводы.

Прежде всего посмотрим на единичную окружность и выделим ту область, которая нас интересует. А интересует нас 1-я четверть.

Выделили и запомнили. Идем дальше. Теперь вспомним о прямых, которые у нас есть. Ввиду неизвестности «господина» параметра, мы получим целое семейство прямых линий, способных нас удовлетворить. Рисунок будет выглядеть следующим образом:
Нас интересуют все прямые, пересекающие четвертинку окружности, лежащую в первой четверти. Все, кроме одной. Та прямая, которая проходит через точку
Так как k – угловой коэффициент наших с вами прямых, то найдем чему он равен в этой точке
не наш клиент ввиду условия y≠x.
Откуда

В дальнейшем эта линия будет обозначена пунктиром:
Так же нужно ограничить семейство прямых прямой, проходящей через точку (1,0), ибо в противном случае они начнут пересекать окружность в 4-ой четверти. Нам это, как вы помните, не нужно. Ограничив и выделив единственную неподходящую прямую, мы получим k=1/2 и следующую картинку:
Итоговая картинка выглядит так:
Фиолетовые линии – линии, ограничивающие наше семейство прямых, а пунктирная – не вошедшая по условию задачи. Осталось лишь записать все , с которыми прямая окажется в нужной нам области.
Итак,
Ответ:
Олимпиады – это тот случай, когда важны и участие, и победа. Начиная с регионального этапа, уровень сложности заданий становится достаточно высоким, поскольку согласно положению Минобрнауки, квота победителей и призеров на нем составляет не более 25% от общего числа участников. Это значит, что право участвовать в финале получат лучшие из лучших. Чтобы попасть в их число, подготовка с преподавателем понадобится в любом случае – будь то репетитор или курсы.

Занятия с репетитором – недешевое удовольствие. У них есть несомненный плюс в том, что они позволяют обеспечить максимум внимания ученику. Тем не менее, оно не всегда оправдывает материальные средства. Стоимость академического часа у многих хороших преподавателей зачастую достигает 3000-5000 рублей, заниматься с плохими – просто не имеет смысла. А если предмет не один, да еще и к нему добавляется подготовка к ЕГЭ, то можно вовсе разориться. К тому же, не все олимпиадные тренеры и опытные вузовские преподаватели, готовящие к олимпиадам, соглашаются на индивидуальные уроки ввиду своей загруженности. Поэтому занятия в группе дают возможность не только заниматься с действительно знающими свое дело педагогами, но и сэкономить на этом до 50%.

Запишитесь на пробное бесплатное занятие по подготовке к олимпиаде и убедитесь во всем сами!
Олимпиады – это тот случай, когда важны и участие, и победа. Начиная с регионального этапа, уровень сложности заданий становится достаточно высоким, поскольку согласно положению Минобрнауки, квота победителей и призеров на нем составляет не более 25% от общего числа участников. Это значит, что право участвовать в финале получат лучшие из лучших. Чтобы попасть в их число, подготовка с преподавателем понадобится в любом случае – будь то репетитор или курсы.

Занятия с репетитором – недешевое удовольствие. У них есть несомненный плюс в том, что они позволяют обеспечить максимум внимания ученику. Тем не менее, оно не всегда оправдывает материальные средства. Стоимость академического часа у многих хороших преподавателей зачастую достигает 3000-5000 рублей, заниматься с плохими – просто не имеет смысла. А если предмет не один, да еще и к нему добавляется подготовка к ЕГЭ, то можно вовсе разориться. К тому же, не все олимпиадные тренеры и опытные вузовские преподаватели, готовящие к олимпиадам, соглашаются на индивидуальные уроки ввиду своей загруженности. Поэтому занятия в группе дают возможность не только заниматься с действительно знающими свое дело педагогами, но и сэкономить на этом до 50%.

Запишитесь на пробное бесплатное занятие по подготовке к олимпиаде и убедитесь во всем сами!
Олимпиады – это тот случай, когда важны и участие, и победа. Начиная с регионального этапа, уровень сложности заданий становится достаточно высоким, поскольку согласно положению Минобрнауки, квота победителей и призеров на нем составляет не более 25% от общего числа участников. Это значит, что право участвовать в финале получат лучшие из лучших. Чтобы попасть в их число, подготовка с преподавателем понадобится в любом случае – будь то репетитор или курсы.

Занятия с репетитором – недешевое удовольствие. У них есть несомненный плюс в том, что они позволяют обеспечить максимум внимания ученику. Тем не менее, оно не всегда оправдывает материальные средства. Стоимость академического часа у многих хороших преподавателей зачастую достигает 3000-5000 рублей, заниматься с плохими – просто не имеет смысла. А если предмет не один, да еще и к нему добавляется подготовка к ЕГЭ, то можно вовсе разориться. К тому же, не все олимпиадные тренеры и опытные вузовские преподаватели, готовящие к олимпиадам, соглашаются на индивидуальные уроки ввиду своей загруженности. Поэтому занятия в группе дают возможность не только заниматься с действительно знающими свое дело педагогами, но и сэкономить на этом до 50%.

Запишитесь на пробное бесплатное занятие по подготовке к олимпиаде и убедитесь во всем сами!
Олимпиады – это тот случай, когда важны и участие, и победа. Начиная с регионального этапа, уровень сложности заданий становится достаточно высоким, поскольку согласно положению Минобрнауки, квота победителей и призеров на нем составляет не более 25% от общего числа участников. Это значит, что право участвовать в финале получат лучшие из лучших. Чтобы попасть в их число, подготовка с преподавателем понадобится в любом случае – будь то репетитор или курсы.

Занятия с репетитором – недешевое удовольствие. У них есть несомненный плюс в том, что они позволяют обеспечить максимум внимания ученику. Тем не менее, оно не всегда оправдывает материальные средства. Стоимость академического часа у многих хороших преподавателей зачастую достигает 3000-5000 рублей, заниматься с плохими – просто не имеет смысла. А если предмет не один, да еще и к нему добавляется подготовка к ЕГЭ, то можно вовсе разориться. К тому же, не все олимпиадные тренеры и опытные вузовские преподаватели, готовящие к олимпиадам, соглашаются на индивидуальные уроки ввиду своей загруженности. Поэтому занятия в группе дают возможность не только заниматься с действительно знающими свое дело педагогами, но и сэкономить на этом до 50%.

Запишитесь на пробное бесплатное занятие по подготовке к олимпиаде и убедитесь во всем сами!
Олимпиады – это тот случай, когда важны и участие, и победа. Начиная с регионального этапа, уровень сложности заданий становится достаточно высоким, поскольку согласно положению Минобрнауки, квота победителей и призеров на нем составляет не более 25% от общего числа участников. Это значит, что право участвовать в финале получат лучшие из лучших. Чтобы попасть в их число, подготовка с преподавателем понадобится в любом случае – будь то репетитор или курсы.

Занятия с репетитором – недешевое удовольствие. У них есть несомненный плюс в том, что они позволяют обеспечить максимум внимания ученику. Тем не менее, оно не всегда оправдывает материальные средства. Стоимость академического часа у многих хороших преподавателей зачастую достигает 3000-5000 рублей, заниматься с плохими – просто не имеет смысла. А если предмет не один, да еще и к нему добавляется подготовка к ЕГЭ, то можно вовсе разориться. К тому же, не все олимпиадные тренеры и опытные вузовские преподаватели, готовящие к олимпиадам, соглашаются на индивидуальные уроки ввиду своей загруженности. Поэтому занятия в группе дают возможность не только заниматься с действительно знающими свое дело педагогами, но и сэкономить на этом до 50%.

Запишитесь на пробное бесплатное занятие по подготовке к олимпиаде и убедитесь во всем сами!
Вам может понравиться
Оставь свой e-mail и мы будем присылать топовые материалы каждый понедельник.
Подпишись на знания
Все об олимпиадах, ГИА и профориентации : полезная информация каждый день.
ПРОЕКТ ЦЕНТРА ОБРАЗОВАНИЯ
"КОАЛИЦИЯ" И АССОЦИАЦИИ ПОБЕДИТЕЛЕЙ ОЛИМПИАД
ПОДГОТОВКА К ОЛИМПИАДАМ И ЕГЭ
Made on
Tilda