ПРОЕКТ ЦЕНТРА ОБРАЗОВАНИЯ
"КОАЛИЦИЯ" И АССОЦИАЦИИ ПОБЕДИТЕЛЕЙ ОЛИМПИАД
ПОДГОТОВКА К ОЛИМПИАДАМ И ЕГЭ
16 апреля 2019

Системы счисления: разбор заданий ЕГЭ по информатике

Объясняет Исаак Калинкин, математический факультет
НИУ ВШЭ.

Работать с числами разных систем счисления необходимо во многих заданиях ЕГЭ по информатике, поэтому очень важно хорошо понимать эту тему.

Сначала разберемся, что это такое и что с этим делать, а затем на примерах типовых заданий закрепим знания.
Итак, в самом общем смысле, система счисления — символический метод записи чисел, то есть, по-простому, способ написать число на бумаге. Символы, из которых записывают числа, называются цифрами.

В основном, бывают позиционные и непозиционные системы счисления. Позиционные — это те, в которых значение цифры зависит от ее положения, а непозиционные — в которых оно одинаково при всех положениях цифры.


Например, самая простая система счисления, в которой число записывается «палочками» является непозиционной, современная десятичная — позиционная. А вот римские цифры являются примером почти непозиционной системы счисления, поскольку здесь положение цифры имеет влияние лишь в некоторых ситуациях: можно сравнить VI и IV.

Сейчас самая распространенная система счисления — десятичная, в которой используются арабские цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
В общем случае позиционная система счисления характеризуется целым числом , называемым основанием системы счисления. Система с основанием также называется -ичной (в частности, двоичной, троичной, десятичной). Оказывается, любое число без знака можно одним способом представить как сумму степеней числа :
Каждый bi в таком случае называется разрядом, а число x в b-ичной записывается как

Например:
Для записи чисел в системах счисления с основанием до 36 включительно в качестве цифр (знаков) используются арабские цифры и затем буквы латинского алфавита (a, b, c, d, e, …). При этом A = 10, B = 11 и так далее.
Таким образом, чтобы перевести число
в десятичную систему счисления, нужно посчитать сумму
Пример:
Наоборот, чтобы перевести число из х-десятичной системы в b-ичную, нужно последовательно делить x на b, выписывая остатки от деления. Затем, когда у нас остался 0, в остатке 1. нужно выписать все остатки в обратном порядке.
Пример:
x=10, посчитаем x3:
10/3=3 , в остатке 1; 3/3=1, в остатке 0; 1/3 = 0 .
В итоге получилось число 1013 .

А чтобы перевести число из одной системы в другую, можно сначала перевести его в десятичную. Например, переведем число 455 в двоичную систему 435 = 4*51 + 3*50 =2310. Теперь переведем 2310 в двоичную: 23/2=11, в остатке 1; 11/2=5, в остатке 1; 5/2 = 2, в остатке 1; 2/2=1, в остатке 0; 1/2=0, в остатке 1. В итоге получилось число 101112.

Также есть небольшая хитрость, которая позволяет быстрее переводить между собой числа из систем счислений с основанием, равным степени двойки. Чтобы перевести число из системы счисления с большим основанием в систему с меньшим, в случае степени двоек нужно сделать это посимвольно.

Пример: чтобы перевести число А129 в двоичную, нужно каждый символ преобразовать в соответствующее двоичное число длины 4: А = 10102, 1= 00012, 2 = 00102, 9 = 10012. В итоге А 12916 = 1010.0001.0010.10012 (точки добавлены для наглядности).

Переведем то же самое число в систему счисления с основанием 4:
А=224, 1= 014, 2=024, 9 = 214. В итоге А12916= 220102214. Длина зависит от минимального количества символов для записи любой цифры из системы счисления большего основания. Например, чтобы записать любую цифру из 16-ричной системы в двоичной, нужно как минимум 4 символа: F16 = 11112.

Обратно же нужно сделать те же самые действия в обратном порядке, то есть преобразовывать группы цифр из системы с меньшим основанием в цифры системы с большим. Здесь важно начинать делить цифры на группы начиная справа, а не слева. Например: 10001001010012 = 1.0001.0010.10012 = 112916 = 1.000.100.101.0012 = 104518 = 1.00.01.00.10.10.012 = 10102214.

Примеры задач

Задача 1.
Укажите целое число от 8 до 11, двоичная запись которого содержит ровно две единицы. Если таких чисел несколько, укажите наибольшее из них.

Решение:
Рассмотрим все числа от 8 до 11 в двоичном виде:
Из чисел 9 и 10 выбираем число 10, поскольку оно является наибольшим.
Задача 2.
Сколько единиц в двоичной записи десятичного числа 519?

Решение:
Переведём число 519 в двоичную систему:
Таким образом, ответ — 4.
Задача 3.
Вычислите разность двоичных чисел, если X = 1002 , Y = 10101002 .

Решение:
Также, во всех системах счисления работает сложение и вычитание в столбик, с тем лишь исключением, что единичка переносится если сумма разряда достигла b, а не 10, как в десятичной системе. Поэтому, намного более красивое и простое решение заключается в том, чтобы вычесть столбиком 1002 из 10101002 и получить 10100002.
Задача 4.
Найдите значение выражения 8F - 80 в шестнадцатеричной системе счисления. В ответе запишите вычисленное значение в десятичной системе счисления.

Решение:
Снова, тут можно вычесть столбиком и получить число F16 = 15.
Проверим результат:

Задача 5.
Даны 4 целых числа, записанных в двоичной системе: 10001011; 10111000; 10011011; 10110100. Сколько среди них чисел, больших, чем 9А16?

Решение:
Выразим 9А16 в двоичной, это будет 100110102 . Поэтому, среди чисел выше только второе, третье и четвертое превосходят 9А16.

Ответ: 3
Задача 6.
Сколько существует натуральных чисел х, для которых выполнено неравенство 110111002 < x < DF16 .
В ответе укажите только количество чисел, сами числа писать не нужно.

Решение:
Переведем DF16 из шестнадцатеричной в двоичную систему счисления:
DF16 = 110111112. Между числами 110111002 и 110111112 лежит два натуральных числа.

Ответ: 2.

Олимпиады – это тот случай, когда важны и участие, и победа. Начиная с регионального этапа, уровень сложности заданий становится достаточно высоким, поскольку согласно положению Минобрнауки, квота победителей и призеров на нем составляет не более 25% от общего числа участников. Это значит, что право участвовать в финале получат лучшие из лучших. Чтобы попасть в их число, подготовка с преподавателем понадобится в любом случае – будь то репетитор или курсы.

Занятия с репетитором – недешевое удовольствие. У них есть несомненный плюс в том, что они позволяют обеспечить максимум внимания ученику. Тем не менее, оно не всегда оправдывает материальные средства. Стоимость академического часа у многих хороших преподавателей зачастую достигает 3000-5000 рублей, заниматься с плохими – просто не имеет смысла. А если предмет не один, да еще и к нему добавляется подготовка к ЕГЭ, то можно вовсе разориться. К тому же, не все олимпиадные тренеры и опытные вузовские преподаватели, готовящие к олимпиадам, соглашаются на индивидуальные уроки ввиду своей загруженности. Поэтому занятия в группе дают возможность не только заниматься с действительно знающими свое дело педагогами, но и сэкономить на этом до 50%.

Запишитесь на пробное бесплатное занятие по подготовке к олимпиаде и убедитесь во всем сами!
Олимпиады – это тот случай, когда важны и участие, и победа. Начиная с регионального этапа, уровень сложности заданий становится достаточно высоким, поскольку согласно положению Минобрнауки, квота победителей и призеров на нем составляет не более 25% от общего числа участников. Это значит, что право участвовать в финале получат лучшие из лучших. Чтобы попасть в их число, подготовка с преподавателем понадобится в любом случае – будь то репетитор или курсы.

Занятия с репетитором – недешевое удовольствие. У них есть несомненный плюс в том, что они позволяют обеспечить максимум внимания ученику. Тем не менее, оно не всегда оправдывает материальные средства. Стоимость академического часа у многих хороших преподавателей зачастую достигает 3000-5000 рублей, заниматься с плохими – просто не имеет смысла. А если предмет не один, да еще и к нему добавляется подготовка к ЕГЭ, то можно вовсе разориться. К тому же, не все олимпиадные тренеры и опытные вузовские преподаватели, готовящие к олимпиадам, соглашаются на индивидуальные уроки ввиду своей загруженности. Поэтому занятия в группе дают возможность не только заниматься с действительно знающими свое дело педагогами, но и сэкономить на этом до 50%.

Запишитесь на пробное бесплатное занятие по подготовке к олимпиаде и убедитесь во всем сами!
Олимпиады – это тот случай, когда важны и участие, и победа. Начиная с регионального этапа, уровень сложности заданий становится достаточно высоким, поскольку согласно положению Минобрнауки, квота победителей и призеров на нем составляет не более 25% от общего числа участников. Это значит, что право участвовать в финале получат лучшие из лучших. Чтобы попасть в их число, подготовка с преподавателем понадобится в любом случае – будь то репетитор или курсы.

Занятия с репетитором – недешевое удовольствие. У них есть несомненный плюс в том, что они позволяют обеспечить максимум внимания ученику. Тем не менее, оно не всегда оправдывает материальные средства. Стоимость академического часа у многих хороших преподавателей зачастую достигает 3000-5000 рублей, заниматься с плохими – просто не имеет смысла. А если предмет не один, да еще и к нему добавляется подготовка к ЕГЭ, то можно вовсе разориться. К тому же, не все олимпиадные тренеры и опытные вузовские преподаватели, готовящие к олимпиадам, соглашаются на индивидуальные уроки ввиду своей загруженности. Поэтому занятия в группе дают возможность не только заниматься с действительно знающими свое дело педагогами, но и сэкономить на этом до 50%.

Запишитесь на пробное бесплатное занятие по подготовке к олимпиаде и убедитесь во всем сами!
Олимпиады – это тот случай, когда важны и участие, и победа. Начиная с регионального этапа, уровень сложности заданий становится достаточно высоким, поскольку согласно положению Минобрнауки, квота победителей и призеров на нем составляет не более 25% от общего числа участников. Это значит, что право участвовать в финале получат лучшие из лучших. Чтобы попасть в их число, подготовка с преподавателем понадобится в любом случае – будь то репетитор или курсы.

Занятия с репетитором – недешевое удовольствие. У них есть несомненный плюс в том, что они позволяют обеспечить максимум внимания ученику. Тем не менее, оно не всегда оправдывает материальные средства. Стоимость академического часа у многих хороших преподавателей зачастую достигает 3000-5000 рублей, заниматься с плохими – просто не имеет смысла. А если предмет не один, да еще и к нему добавляется подготовка к ЕГЭ, то можно вовсе разориться. К тому же, не все олимпиадные тренеры и опытные вузовские преподаватели, готовящие к олимпиадам, соглашаются на индивидуальные уроки ввиду своей загруженности. Поэтому занятия в группе дают возможность не только заниматься с действительно знающими свое дело педагогами, но и сэкономить на этом до 50%.

Запишитесь на пробное бесплатное занятие по подготовке к олимпиаде и убедитесь во всем сами!
Олимпиады – это тот случай, когда важны и участие, и победа. Начиная с регионального этапа, уровень сложности заданий становится достаточно высоким, поскольку согласно положению Минобрнауки, квота победителей и призеров на нем составляет не более 25% от общего числа участников. Это значит, что право участвовать в финале получат лучшие из лучших. Чтобы попасть в их число, подготовка с преподавателем понадобится в любом случае – будь то репетитор или курсы.

Занятия с репетитором – недешевое удовольствие. У них есть несомненный плюс в том, что они позволяют обеспечить максимум внимания ученику. Тем не менее, оно не всегда оправдывает материальные средства. Стоимость академического часа у многих хороших преподавателей зачастую достигает 3000-5000 рублей, заниматься с плохими – просто не имеет смысла. А если предмет не один, да еще и к нему добавляется подготовка к ЕГЭ, то можно вовсе разориться. К тому же, не все олимпиадные тренеры и опытные вузовские преподаватели, готовящие к олимпиадам, соглашаются на индивидуальные уроки ввиду своей загруженности. Поэтому занятия в группе дают возможность не только заниматься с действительно знающими свое дело педагогами, но и сэкономить на этом до 50%.

Запишитесь на пробное бесплатное занятие по подготовке к олимпиаде и убедитесь во всем сами!
Вам может понравиться
Оставь свой e-mail и мы будем присылать топовые материалы каждый понедельник.
Подпишись на знания
Все об олимпиадах, ГИА и профориентации : полезная информация каждый день.
ПРОЕКТ ЦЕНТРА ОБРАЗОВАНИЯ
"КОАЛИЦИЯ" И АССОЦИАЦИИ ПОБЕДИТЕЛЕЙ ОЛИМПИАД
ПОДГОТОВКА К ОЛИМПИАДАМ И ЕГЭ
Made on
Tilda